Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且a²+c²-b²=

1

2

ac．
（Ⅰ）求sin²

A+C

2

+cos2B的值；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出關(guān)系式，代入已知等式求出cosB的值，原式利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，把cosB的值代入計算即可求出值；
（Ⅱ）把b的值代入已知等式，并利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面積公式求出面積的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可知，a²+c²-b²=2accosB，
由題意知a²+c²-b²=

1

2

ac，
∴cosB=

1

4

，
又在△ABC中，A+B+C=π，∴sin

A+C

2

=cos

B

2

，
則原式=cos²

B

2

+cos2B=

1+cosB

2

+2cos²B-1=2cos²B+

1

2

cosB-

1

2

=

1

8

+

1

8

-

1

2

=-

1

4

；
（Ⅱ）∵b=2，sinB=

15

4

，
∴由a²+c²-b²=

1

2

ac得：a²+c²-4=

1

2

ac，即a²+c²=

1

2

ac+4≥2ac，
整理得：ac≤

8

3

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

4

3

sinB=

15

3

，
則△ABC面積的最大值為

15

3

．

點評：此題考查了余弦定理，基本不等式的運用，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．