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對任意x,y滿足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)不恒為0
(1)證明:f(x)>0
(2)當x>0,f(x)>1,證明凼數f(x)單調遞增.
考點:抽象函數及其應用,函數單調性的判斷與證明
專題:函數的性質及應用
分析:(1)令x=y=0,代入f(x)•f(y)=f(x+y)即可得到f(0)的方程,解之即可求得f(0),再有x=
x
2
+
x
2
,即可證得對任意的x∈R,有f(x)>0;
(2)由題設條件對任意x1、x2在所給區(qū)間內比較f(x2)-f(x1)與0的大小即可.
解答: 解:(1)可得f(0)•f(0)=f(0),
∵f(0)≠0,
∴f(0)=1;
又對于任意x∈R,f(x)=f(
x
2
+
x
2
)=[f(
x
2
)]2≥0,又f(
x
2
)≠0,∴f(x)>0,
(2)任取x1<x2,則x2-x1>0,
由題設x>0時,f(x)>1,可得f(x2-x1)>1,
f(x2)=f(x1)f(x2-x1)⇒f(x2)÷f(x1)=f(x2-x1)>1,
又f(
1
2
x1+
1
2
x1)=f(
1
2
x1)f(
1
2
x1)=f 2
1
2
x1)≥0⇒f(x1)≥0,
故有f(x2)>f(x1).
所以 f(x)是R上增函數.
點評:本題考點是抽象函數及其應用,考查用賦值法求函數值證明函數的奇偶性,以及靈活利用所給的恒等式證明函數的單調性,此類題要求答題者有較高的數學思辨能力,能從所給的條件中組織出證明問題的組合來.
練習冊系列答案
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1
4
)2-3x
;
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tanA
tanB
=
2c
b

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m
=(0,-1),
n
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C
2
),
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π
2
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3
2
sin2x-cos2x-
1
2
,x∈R.
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3
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