分析:(1)利用異面直線所成角的定義再結(jié)合正四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1中的性質(zhì)可得直線A
1B與A
1C
1所成的角即為所求然后在三角形A
1C
1B利用余弦定理即可得解.
(2)由于多面體ABM-A
1B
1C
1的不規(guī)則性故可利用
VABM-A1B1C1=VABC-A1B1C1- VM-ABC因此需利用直線AM與平面ABC所成角為
來(lái)確定點(diǎn)M的位置后問(wèn)題就解決了.
解答:解:(1)連接BC
1則由于在正四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1中AC∥A
1C
1故異面直線A
1B與AC所成角即為直線A
1B與A
1C
1所成的角
∵正四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1中,底面邊長(zhǎng)為2,AA
1=4
∴BC
1=
2,A
1B=
2,
A1C1=2∴cos∠BA
1C
1=
=
∴異面直線A
1B與AC所成角即為arccos
(2)∵正四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1中MC⊥面ABCD
∴∠MBC=
∵BC=2
∴MC=2
∵
VABM-A1B1C1=VABC-A1B1C1- VM-ABC∴
VABM-A1B1C1=
×2×2×4-
×
×2×2×2=
即多面體ABM-A
1B
1C
1的體積為
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了異面直線所成的角和幾何體體積的求解.解題的關(guān)鍵是第一問(wèn)要利用圖形的性質(zhì)將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角而第二問(wèn)對(duì)于不規(guī)則圖形體積的求解常采用規(guī)則圖形的體積差來(lái)求解(比如本題中的多面體ABM-A1B1C1的體積轉(zhuǎn)化為正三棱柱的體積減去三棱錐的體積)!