已知三棱錐S—ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，若將此三棱錐沿側(cè)棱展成平面圖形恰好可以形成一個邊長為的正方形．

   （1）求證：頂點在底面ABC的射影是底面的垂心；         

   （2）求二面角S-AB-C的大�。�

（1）證明略（2）二面角S-AB-C的大小為


解析:

（1）作,連AO、BO，

因為側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，易證、、

．

所以，由三垂線定理的逆定理，AOBC，同理可證BOAC．

所以O(shè)為高線的交點，即為垂心． …………………6分

   （2）由于三棱錐的展開圖成邊長為正方形，則B、C分別和的中點，

即SB=SC=，所以SA=，AB=AC=，BC=．

在三棱錐S—ABC中，過S作SD垂直AB于D，連CD。因為，

根據(jù)三垂線定理，CDAB，所以即為二面角求二面角S-AB-C的平面角． 

在三角形SAB中，，SC=，SA=，AC=，所以SD=

所以,

即二面角S-AB-C的大小為． …………………12分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐S-ABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=
2
r，則球的體積與三棱錐體積之比是（　�。�
A、πB、2πC、3πD、4π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2；則此棱錐的體積為
2
6
2
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA=2，SB=SC=4，若點P到S、A、B、C這四點的距離都是同一個值，則這個值是
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•蘭州一模）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在以O(shè)為球心的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，若三棱錐S-ABC的體積為
2
6
，則球O的表面積為
4π
4π
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐S-ABC的四個頂點在以O(shè)為球心的同一球面上，且SA=SB=SC=AB，∠ACB=90°，則當(dāng)球的表面積為400π時，點O到平面ABC的距離為（　�。�

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