Question

如圖，矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：BM∥平面ADEF；

(Ⅱ)求證：平面BDE⊥平面BEC；

(Ⅲ)若DE＝3，求平面BEC與平面DEC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)證明：取中點(diǎn)，連結(jié)． 　　在△中，分別為的中點(diǎn)， 　　所以∥，且． 　　由已知∥，， 　　所以∥，且． 　　所以四邊形為平行四邊形．2分 　　所以∥． 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5432/0017/aeb793bbe4b863cec9d5efcb483e2a47/C/Image79.gif" width=44 height=18>平面，且平面， 　　所以∥平面．4分 　　(Ⅱ)證明：在矩形中，． 　　又因?yàn)槠矫?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5432/0017/aeb793bbe4b863cec9d5efcb483e2a47/C/Image80.gif" width=49 height=17>平面， 　　且平面平面， 　　所以平面． 　　所以．5分 　　在直角梯形中，，，可得． 　　在△中，， 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5432/0017/aeb793bbe4b863cec9d5efcb483e2a47/C/Image96.gif" width=120 height=21>，所以． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5432/0017/aeb793bbe4b863cec9d5efcb483e2a47/C/Image98.gif" width=96 height=21>，所以平面．7分 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5432/0017/aeb793bbe4b863cec9d5efcb483e2a47/C/Image101.gif" width=41 height=18>平面， 　　所以平面平面．8分 　　(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知平面，且． 　　以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系． 　　．9分 　　易知平面的一個法向量為．10分 　　設(shè)為平面的一個法向量， 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5432/0017/aeb793bbe4b863cec9d5efcb483e2a47/C/Image116.gif" width=22 height=16>＝(－2，2，0)，＝(0，－4，3) 　　所以， 　　令，得． 　　所以為平面的一個法向量．12分 　　設(shè)平面與平面所成銳二面角為． 　　則 　　所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．14分