Question

3．在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=$\sqrt{3}，SB=2\sqrt{2}$．
（1）證明：面SBC⊥面SAC；
（2）求點(diǎn)A到平面SCB的距離；
（3）求二面角A-SB-C的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用SA⊥AB，SA⊥AC，推出SA⊥平面ABC，得到BC⊥SA，結(jié)合BC⊥AC，證明BC⊥面SAC，然后說明面SBC⊥面SAC．
（2）過點(diǎn)A作AE⊥SC交SC于點(diǎn)E，推出AE為點(diǎn)A到平面SCB的距離，然后在RT△SAC中，求解即可．
（3）過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥SB交SB于點(diǎn)N，說明∠CMN為所求二面角的平面角，在RT△ABC中，求解CM，在RT△SBC中，求解CN，然后求解二面角A-SB-C的平面角的正弦值．

解答 （1）證明：∵SA⊥AB，SA⊥AC，且AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC，
∵BC?面ABC，∴BC⊥SA，
∵BC⊥AC，AC∩AS=A，∴BC⊥面SAC，∴面SBC⊥面SAC．
（2）解：過點(diǎn)A作AE⊥SC交SC于點(diǎn)E，
∵面SBC⊥面SAC，且面SBC∩面SAC=SC，
∴AE⊥面SBC，即AE為點(diǎn)A到平面SCB的距離，
在RT△SAC中，$AE=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，即點(diǎn)A到平面SCB的距離為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

（3）解：過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥SB交SB于點(diǎn)N，
∵SA⊥平面ABC，∴面SAB⊥面ABC，∴CM⊥面SAB，
∴CM⊥SB，MN∩CM=M，∴SB⊥面CMN，
∴∠CMN為所求二面角的平面角，
在RT△ABC中，$CM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，在RT△SBC中，$CN=\frac{{\sqrt{30}}}{4}$，
在RT△CMN中，$sin∠CNM=\frac{CM}{CN}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
即二面角A-SB-C的平面角的正弦值$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．