已知m=(x-lnx-y,a),
n
=(
1
x
+lnx+15,1),其中a>0,且a≠1,當時,y關于x的函數(shù)關系式記為y=f(x);
(1)寫出函數(shù)f(x)的解析式,并討論f(x)的單調性;
(2)設函數(shù)g(x)=
(-2x3-3ax2-6ax-4a2+6a)   ex,x≤1
e•f(x),x>
1
(e是自然數(shù)的底數(shù)).是否存在正整數(shù)a,使g(x)在[-a,a]上為減函數(shù)?若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù)a;若不存在,請說明理由.
分析:(1)由題意
m
n
,且
m
=(x-lnx-y,a)  ,
n
=(
1
x
+lnx+15,1)
,利用兩向量共線的從要條件得到f(x)的解析式,并由函數(shù)解析式,利用導數(shù)法求解函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)由題意,可以先假設存在正整數(shù)a,使g(x)在[-a,a]上為減函數(shù),利用題意可以轉化為導函數(shù)在區(qū)間上恒成立時的條件進而求解.
解答:解:∵
m
n
,且
m
=(x-lnx-y,a)  ,
n
=(
1
x
+lnx+15,1)
,
∴(x-lnx-y)×1-a(
1
x
+lnx+15)=0
=0⇒y=f(x)=x-
a
x
-(a+1)lnx-15a
,
又f(x)得定義域為(0,+∞)
f(x)=1+
a
x2
-
a+1
x
=
(x-a)(x-1)
x2
,
①若0<a<1時,則0<x<a或x>1?f(x)>0;a<x<1?f(x)<0,
故f(x)分別在(0,a),(1,+∞)上單調遞增;在(a,1)上單調遞減;
②若a>1時,妨①可得:f(x)分別在(0,1),(a,+∞)上單遞增,在(1,a)上單調遞減.
(2)假設存在,設則h(x)=(-2x3-3ax2-6ax-4a2+6a)exex  則h(x)=[-2x3-3(a+2)x2-12ax-4a2]ex
令φ(x)=-2x3-3(a+2)x2-12ax-4a2  (x∈R),
當g(x)在[-a,a]上為減函數(shù),h(x)必在[-a,0]上為減函數(shù),從而h(x)≤0在[-a,0]上恒成立,
于是h(-a)≤0?φ(-a)=-a3+2a2≤0⇒a≥2 ③,
此時,g(x)在上[-a,a]為減函數(shù)?
h(x)在[-a,1]上為減函數(shù)
f(x)在[1,a]上為減函數(shù)
且h(1)≥ef(1),
有(1)知:當a≥2時,f(x)在[1,a]上為單調遞減函數(shù),又h(1)≥ef(1)?4a2-13a+3≤0⇒
1
4
≤a≤3

又③④得:2≤a≤3,
再考慮,h(x)在[-a,1]上為減函數(shù),?x∈[-a,1],h(x)≤0??x∈[-a,1],φ(x)≤0?x∈[-a,1],φ′(x)最大值小于等于0,
φ′(x)=-6(x+a)(x+2),當2≤a≤3時,可求x∈[-a,1]時,φ(x)的最大值為φ(-2)=-4a3+12a-8≤0⇒a≥2.
?x∈[-a,1],φ(x)=0只有當a=2時,在x=-2取得,亦即h′(x)=0,只有當a=2時,在x=-2取的.
因此,當2≤a≤3時,h(x)[-a,1]在上為單調遞減函數(shù),
綜上:2≤a≤3時,故存在正整數(shù)2,3滿足題中的條件.
點評:此題考查了利用導函數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間,還考查了學生等價轉化的思想和解不等式時的分類討論的思想.
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已知函數(shù)f(x)=
lnx-1
lnx+1
(x>e)
,若f(m)+f(n)=1,則f(m•n)的最小值為( 。
A、
2
7
B、
5
7
C、
2
5
D、
3
5

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•梅州一模)已知函數(shù)f(x)=lnx-
a(x-1)
x+1

(1)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為單調增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)設m,n∈R,且m≠n,求證
m-n
lnm-lnn
m+n
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
1
2
ax2+bx(a≠0),h(x)=
2(x-1)
x+1

(1)當a=-2時,函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在其定義域范圍是增函數(shù),求實數(shù)b的取值范圍;
(2)當x>1時,證明f(x)>h(x)成立;
(3)記函數(shù)f(x)與g(x)的圖象分別是C1、C2,C1、C2相交于不同的兩點P,Q,過線段PQ的中點R作垂直于x軸的垂線,與C1、C2分別交于M、N,問是否存在點R,使得曲線C1在M處的切線與曲線C2在N處的切線平行?若存在,試求出R點的坐標;若不存在,試說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx-
mx
(m∈R)在區(qū)間[1,e]上取得最小值4,則m=
 

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