Question

已知f（x）是定義在R上，且周期為2的偶函數，當0≤x≤1時，f（x）=x²．若直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個公共點，那么實數a的值為（ ）（k∈z）
A．k
B．2k
C．2k或2k-
D．k或k-

Answer 1

【答案】分析：利用函數是周期為2的偶函數，作出函數y=f（x）的圖象，利用直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個公共點，利用數形結合的思想求a的值．
解答：解：因為f（x）是定義在R上且周期為2的偶函數，所以當-1≤x≤1時，f（x）=x²．
①由圖象可知當直線y=x+a經過點O（0，0）時，直線y=x+a與y=f（x）恰有兩個公共點，此時a=0，由于函數f（x）是周期為2的函數，所以當a=2k時，直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個公共點．
②由圖象可知直線y=x+a與f（x）=x²相切時，直線y=x+a與曲線y=f（x）也恰有兩個公共點．
f'（x）=2x，由f'（x）=2x=1，解得x=，所以y=，即切點為（），代入直線y=x+a得a=．
由于函數f（x）是周期為2的函數，所以當a=2k時，直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個公共點．
綜上滿足條件的實數a的值為a=2k或a=2k．
故選C．
點評：本題考查了兩個曲線的交點問題，要充分利用函數的周期性，利用數形結合的思想去解決，綜合性較強．