Question

如圖9-7，已知圓C：x²+y²=4,A(,0)是圓內(nèi)一點。Q是圓上一動點，AQ的垂直平分線交OQ于P，當點Q在圓C上運動一周時，點P的軌跡為曲線E。

（1）求曲線E的方程；

（2）過點O作傾斜角為θ的直線與曲線E交于B₁、B₂兩點，當θ在范圍（0，）內(nèi)變化時，求△AB₁B₂的面積S(θ)的最大值。

Answer 1

解  （1）∵P在AQ的垂直平分線上，又在半徑OQ上，∴|PQ|=|PA|，且|OP|+|PA|=|OQ|=2，

故P點的軌跡是以O、A為焦點，長軸長為2，中心在（，0）的橢圓：

(x-)²+=1

（2）設OB₁=x，則AB₁=2-x，在△OAB₁中，由余弦定理得|AB₁|²=|OB₁|²+|OA|²-2|OB₁|·|OA|

cosθ，

即(2-x)²=x²+3-2x·cosθ，解得x=,

同理可得,

S(θ)=S=S+S

=|OA|·|OB₁|sinθ+|OA|·|OB₂|sin(π-θ)

=|OA|(+)

==≤

當且僅當sinθ=，即θ=arcsin時取等號，

∴當θ=arcsin時，S_max(θ)=。