Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)是與的交點(diǎn).

（1）求二面角的余弦值；

（2）若點(diǎn)在線段上且平面，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）在中,由可得,由余弦定理可得,則,可得,以直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面和平面的法向量,進(jìn)而利用向量的數(shù)量積求解即可；

（2）先求得平面的法向量,由點(diǎn)在線段上得,解得點(diǎn)的坐標(biāo),即可得到,再由求得,代回,進(jìn)而利用向量的數(shù)量積求解即可.

（1）在中,

,

因?yàn)?/span>,所以,

在中,,所以是等邊三角形,則,

所以,即,

因?yàn)?/span>平面,

所以分別以直線為軸,軸,軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則,,,,,,

則,,,,

設(shè)平面的法向量為,則,即,

令,則,,則

設(shè)平面的法向量為,則,即,

令,則,,則

則,

所以二面角的余弦值為

（2）設(shè)平面的法向量為,

因?yàn)?/span>且,

則,即,

令,則,,則,

設(shè)且,

則,即,則,

所以,

因?yàn)?/span>,即,則,

所以,

因?yàn)槠矫?/span>的法向量,則,

所以直線與平面所成角的正弦值為