已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|,
(Ⅰ)當(dāng)a=-3時(shí),求不等式f(x)≥3的解集;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為m,若a,b,c是正實(shí)數(shù),且滿足a+b+c=m,求證:a2+b2+c2≥3.
考點(diǎn):絕對值不等式的解法
專題:計(jì)算題,證明題,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求出a=-3的不等式,通過討論x的范圍,去絕對值,分別解出它們,再求并集即可;
(Ⅱ)運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì),求得m=3,再由三元柯西不等式即可得證.
解答: (Ⅰ)解:當(dāng)a=-3時(shí),f(x)≥3?|x-3|+|x-2|≥3
?
x≤2
3-x+2-x≥3
2<x<3
3-x+x-2≥3
x≥3
x-3+x-2≥3

?x≤1或x≥4,
則解集為(-∞,1]∪[4,+∞);
(Ⅱ)證明:由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
當(dāng)且僅當(dāng)-1≤x≤2時(shí),等號成立,
則f(x)的最小值為3,即m=3.
即有a+b+c=3,又a,b,c為正實(shí)數(shù),
則有(a2+b2+c2)(12+12+12)≥(a+b+c)2=9,
即有a2+b2+c2≥3.
點(diǎn)評:本題考查絕對值不等式的解法,考查函數(shù)的最值的求法,考查柯西不等式的運(yùn)用:證明不等式,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)若滿足:(1)f(x)不恒為零;(2)對任意實(shí)數(shù)x,p,都有f(xp)=pf(x),我們就稱f(x)為“降冪函數(shù)”
(1)判斷y=log2x是否為“降冪函數(shù)”,并說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)為“降冪函數(shù)”,證明:f(m•n)=f(n)+f(m);
(3)若函數(shù)f(x)為“降冪函數(shù)”,且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(2)=1,f(x)滿足f(m
1+sin2θ
+2sinθ•sin(θ+
π
3
)+cos2θ)-f(m)>1對一切θ∈[0,
π
2
]上恒成立,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=
x-1
+
3-x
的定義域?yàn)椋ā 。?/div>
A、(1,3)
B、[1,3]
C、(-∞,1)∪(3,+∞)
D、(1,0)∪(0,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合M={x|x≤0},N={-2,0,1},則M∩N=( 。
A、{x|x≤0}
B、{-2,0}
C、{x|-2≤x≤0}
D、{0,1}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓T:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(2,
2
),一個(gè)焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是(2,0).
(1)求橢圓T的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓T交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓T的離心率為e,若kOA•kOB=e2-1,求證:△AOB的面積為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+3bx(a,b為實(shí)數(shù),a<0,b>0),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),有f(x)∈[0,1],則b的最大值是(  )
A、
1
2
B、
2
4
C、
3
2
D、
3
+1
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若C(
3
,0,0).F(0,0,
3
),則|CF|等于
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ex-ax-a(其中a∈R,e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…).
(Ⅰ)當(dāng)a=e時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

按照程序框圖執(zhí)行,第3個(gè)輸出的數(shù)是( 。
A、4B、5C、6D、7

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