Question

6．已知對任意x∈（0，1]，函數(shù)f（x）=x|x-a|-2的值恒為負數(shù)，則a的范圍為-1＜a＜3．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)恒成立進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：若對任意x∈（0，1]，函數(shù)f（x）=x|x-a|-2的值恒為負數(shù)，
則等價為x|x-a|-2＜0，即$|{x-a}|＜\frac{2}{x}$，在x∈（0，1]，上恒成立，
即$-\frac{2}{x}＜x-a＜\frac{2}{x}$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＜x+\frac{2}{x}}\\{a＞x-\frac{2}{x}}\end{array}}\right.$對任意x∈（0，1]恒成立，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＜3}\\{a＞-1}\end{array}}\right.$，
∴-1＜a＜3，
故答案為：-1＜a＜3

點評 本題主要考查函數(shù)恒成立問題，利用絕對值不等式的解法進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．