【題目】如圖,扇形AOB是一個觀光區(qū)的平面示意圖,其中圓心角∠AOB為,半徑OA為1 km.為了便于游客觀光休閑,擬在觀光區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條從入口A到出口B的觀光道路,道路由弧AC、線段CD及線段DB組成,其中D在線段OB上,且CD∥AO.設(shè)∠AOC=θ.
(1)用θ表示CD的長度,并寫出θ的取值范圍;
(2)當(dāng)θ為何值時,觀光道路最長?
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)利用表示CD的長度的關(guān)鍵是在中正確利用正弦定理;
(2)首先將道路長度表達成的函數(shù)關(guān)系式,再利用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的最大值,從而可以求得時,觀光道路最長.
(1)在△OCD中,由正弦定理,得
===,
所以CD=sin=cos θ+sin θ,OD=sin θ,
因為OD<OB,即sin θ<1,所以sin θ<,所以0<θ<,
所以CD=cos θ+sin θ,θ的取值范圍為.
(2)設(shè)觀光道路長度為L(θ),
則L(θ)=BD+CD+弧CA的長
=1-sin θ+cos θ+sin θ+θ
=cos θ-sin θ+θ+1,θ∈,
L′(θ)=-sin θ-cos θ+1,
由L′(θ)=0,得sin=,
又θ∈,所以θ=,
列表:
θ | |||
L′(θ) | + | 0 | - |
L(θ) | 增函數(shù) | 極大值 | 減函數(shù) |
所以當(dāng)θ=時,L(θ)達到最大值,即當(dāng)θ=時,觀光道路最長.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2017年1月至2019年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是( )
A.年接待游客量逐年增加
B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月
C.2017年1月至12月月接待游客量的中位數(shù)為30萬人
D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四面體中,,平面平面,,且.
(1)證明:平面;
(2)設(shè)為棱的中點,當(dāng)四面體的體積取得最大值時,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.
(1)求證:AB1⊥平面A1BC1;
(2)若D在B1C1上,滿足B1D=2DC1,求AD與平面A1BC1所成的角的正弦值.
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【題目】已知橢圓:的左、右焦點分別為,,若橢圓經(jīng)過點,且△PF1F2的面積為2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)斜率為1的直線與以原點為圓心,半徑為的圓交于A,B兩點,與橢圓C交于C,D兩點,且(),當(dāng)取得最小值時,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓錐(其中為頂點,為底面圓心)的側(cè)面積與底面積的比是,則圓錐與它外接球(即頂點在球面上且底面圓周也在球面上)的體積比為( )
A. B. C. D.
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【題目】為了調(diào)查國企員工對新個稅法的滿意程度,研究人員在地各個國企中隨機抽取了1000名員工進行調(diào)查,并將滿意程度以分數(shù)的形式統(tǒng)計成如下的頻率分布表,其中.(計算結(jié)果保留兩位小數(shù))
分數(shù) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
頻率 | 0.08 | 0.35 | 0.27 |
(1)試估計被調(diào)查的員工的滿意程度的中位數(shù);
(2)若把每組的組中值作為該組的滿意程度,試估計被調(diào)查的員工的滿意程度的平均數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,其中,函數(shù)與關(guān)于直線對稱.
(1)若函數(shù)在區(qū)間上遞增,求a的取值范圍;
(2)證明:;
(3)設(shè),其中恒成立,求滿足條件的最小正整數(shù)b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點與定點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù),設(shè)點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過點的直線與曲線交于,兩點,設(shè)的中點為,,兩點為曲線上關(guān)于原點對稱的兩點,且(),求四邊形面積的取值范圍.
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