Question

【題目】已知函數(shù)，a為常數(shù)

（1）判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性

（2）若f（x）在上的最小值為，求a的值

Answer 1

【答案】(1) f（x）的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,

(2) a＝－

【解析】試題分析：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)＝.，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

（2）由（1）根據(jù)a的取值范圍分類討論，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的值．

試題解析：

(1)由題意f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.

當a0時， (x)>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．

當a<0時，令 (x)>0 ，得x>-a；令 (x)<0 ，得x<-a,

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為

(2)由(1)可知，f′(x)＝.

①若a≥－1，則x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為增函數(shù)，所以f(x)min＝f(1)＝－a＝，所以a＝－(舍去)．

②若a≤－e，則x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為減函數(shù)，所以f(x)min＝f(e)＝1－＝a＝－(舍去)．

③若－e<a<－1，令f′(x)＝0得x＝－a，當1<x<－a時，f′(x)<0，所以f(x)在[1，－a]上為減函數(shù)；當－a<x<e時，f′(x)>0，所以f(x)在[－a，e]上為增函數(shù)，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝a＝－.

綜上所述，a＝－.