Question

已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（2）當(dāng)函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時(shí)，這樣的區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的保值區(qū)間。設(shè)，試問(wèn)函數(shù)在上是否存在保值區(qū)間？若存在，請(qǐng)求出一個(gè)保值區(qū)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）不存在保值區(qū)間.

【解析】

試題分析：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值等數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，考查思維能力、運(yùn)算能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論思想.第一問(wèn)，先對(duì)求導(dǎo)，令，可以看出的單調(diào)區(qū)間是由0和1斷開(kāi)的，現(xiàn)在所求的范圍是，所以將從0斷開(kāi)，分和兩部分進(jìn)行討論，分別判斷的正負(fù)來(lái)決定的單調(diào)性；第二問(wèn)，用反證法證明，先假設(shè)存在保值區(qū)間，先求出，再求導(dǎo)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032910464832639800/SYS201403291047482795948512_DA.files/image014.png">，所以可以求出最值，即方程有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根，下面證明函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，通過(guò)2次求導(dǎo)，判斷單調(diào)性和極值確定只有一個(gè)零點(diǎn)，所以與有2個(gè)大于1的實(shí)根矛盾，所以假設(shè)不成立，所以不存在保值區(qū)間.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為        4分

（2）函數(shù)在上不存在保值區(qū)間。     5分

證明如下：

假設(shè)函數(shù)存在保值區(qū)間[a,b]. ,

因時(shí)，所以為增函數(shù)，      所以

即方程有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根。            7分

設(shè)，

因，，所以在上單增，又，

即存在唯一的使得                         9分

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，

所以函數(shù)在處取得極小值。又因，

所以在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，              11分

這與方程有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根矛盾。

所以假設(shè)不成立，即函數(shù)在上不存在保值區(qū)間。    12分

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2.反證法；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.