Question

已知函數(shù)f（x）=ax，g（x）=b•2^x的圖象都經(jīng)過點A（4，8），數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n=f（a_n-1）+g（n）（n≥2）．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{

an

2n-1

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）求證：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意列出方程即可求得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得a_n=f（a_n-1）+g（n）=2a_n-1+2^n-1，即a_n=2a_n-1+2^n-1，兩邊同除以2^n-1得

an

2n-1

-

an-1

2n-2

=1，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）當n=1時，

1

a1

=

1

1×21-1

=1＜

3

2

，當n≥2時，

1

an

=

1

n2n-1

≤

1

2•2n-1

=

1

2n

利用不等式放縮可得

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

3

2

-

1

2n

＜

3

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ax，g（x）=b•2^x的圖象都經(jīng)過點A（4，8），
∴

4a=8 16b=8

解得a=2，b=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=2x，g（x）=2^x-1，
∴a_n=f（a_n-1）+g（n）=2a_n-1+2^n-1，即a_n=2a_n-1+2^n-1，
兩邊同除以2^n-1得

an

2n-1

-

an-1

2n-2

=1，又

a1

21-1

=1，
∴數(shù)列{

an

2n-1

}是首項和公差都為1的等差數(shù)列．
∴

an

2n-1

=n，a_n=n2^n-1．
（Ⅲ）∵a_n=n2^n-1．∴

1

an

=

1

n2n-1

①當n=1時，

1

a1

=

1

1×21-1

=1＜

3

2

，
②當n≥2時，

1

an

=

1

n2n-1

≤

1

2•2n-1

=

1

2n

∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

3

2

-

1

2n

＜

3

2

，
綜上所述

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

對一切正整數(shù)n都成立．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義及利用方程思想、不等式放縮思想解決問題的方法，考查學生的分析問題，解決問題的能力及運算求解能力，邏輯性強，屬難題．