Question

已知向量=（cosωx-sinωx，sinωx），=（-cosωx-sinωx，2cosωx），設(shè)函數(shù)f（x）=•+λ（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈（，1）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（，0）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx-sinωx）×（-cosωx-sinωx）+sinωx×2cosωx+λ
=-（cos²ωx-sin²ωx）+sin2ωx+λ
=sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin（2ωx-）+λ
∵圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，∴2πω-=+kπ，k∈z
∴ω=+，又ω∈（，1）
∴k=1時(shí)，ω=
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為=
（2）∵f（）=0
∴2sin（2××-）+λ=0
∴λ=-
∴f（x）=2sin（x-）-
由x∈[0，]
∴x-∈[-，]
∴sin（x-）∈[-，1]
∴2sin（x-）-=f（x）∈[-1-，2-]
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上的取值范圍為[-1-，2-]
分析：（1）先利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，求函數(shù)f（x）的解析式，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式將函數(shù)f（x）化為y=Asin（ωx+φ）+k型函數(shù)，最后利用函數(shù)的對(duì)稱性和ω的范圍，計(jì)算ω的值，從而得函數(shù)的最小正周期；
（2）先將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得λ的值，再求內(nèi)層函數(shù)的值域，最后將內(nèi)層函數(shù)看做整體，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)值域的求法，整體代入的思想方法，屬基礎(chǔ)題