(2012•安徽模擬)設(shè)a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+sin2x的定義域是[
π
4
,
11
24
π],f(
π
4
)=
3
.給出下列幾個(gè)命題:
①f(x)在x=
π
4
處取得小值;
[
5
12
π,
11
24
π]
是f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間;
③f(x)的最大值為2;
④使得f(x)取得最大值的點(diǎn)僅有一個(gè)x=
π
3

其中正確命題的序號(hào)是
②③④
②③④
.(將你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)
分析:利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f(x),然后由f(
π
4
)=
3
,求出a的值,進(jìn)一步化簡(jiǎn)為f(x)=2sin(2x-
π
6
),然后根據(jù)x的范圍求出2x-
π
6
的范圍,利用單調(diào)性求出函數(shù)的最大值和最小值.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及最值即可選出答案.
解答:解:f(x)=cosx(asinx-cosx)+sin2x=asinxcosx-cos2x+sin2x=
a
2
sin2x-cos2x,
由f(
π
4
)=
3
,得
a
2
=
3
,解得a=2
3

所以f(x)=2sin(2x-
π
6
),
當(dāng)x∈[
π
4
π
3
]時(shí),2x-
π
6
∈[
π
3
π
2
],f(x)是增函數(shù),
當(dāng)x∈[
π
3
,
11π
24
]時(shí),2x-
π
6
∈[
π
2
,
4
],f(x)是減函數(shù),
所以函數(shù)f(x)在[
π
4
,
11π
24
]上的最大值是:f(
π
3
)=2,
故③正確;
且當(dāng)f(x)取得最大值的點(diǎn)僅有一個(gè)x=
π
3

故④正確;
由上述單調(diào)性知:[
5
12
π,
11
24
π]
是f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間,
故②正確;
又f(
π
4
)=
3
,f(
11π
24
)=
2

所以函數(shù)f(x)在[
π
4
,
11π
24
]上的最小值為:f(
11π
24
)=
2
;
故①錯(cuò)誤.
故答案為:②③④.
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn),二倍角公式的應(yīng)用,三角函數(shù)的求值,函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查計(jì)算能力,?碱}型.
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3
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