8.已知二階矩陣A=$[\begin{array}{l}{3}&{5}\\{0}&{-2}\end{array}]$和向量$\overrightarrow{β}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$,則A6$\overrightarrow{β}$=$[\begin{array}{l}{64}\\{-64}\end{array}]$.(用數(shù)字表示)

分析 求出矩陣A屬于特征值-2的特征向量為$\overrightarrow{β}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$,利用特征向量的定義與性質(zhì)即可算出A6$\overrightarrow{β}$的值.

解答 解:矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(λ)=(λ-3)(λ+2)
令f(λ)=0,得λ=3或λ=-2
將λ=-2代入二元一次方程組,得$\left\{\begin{array}{l}{-5x-5y=0}\\{0•x+0•y=0}\end{array}\right.$,取x=1得y=-1
∴矩陣A屬于特征值-2的特征向量為$\overrightarrow{β}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$,
∴A6$\overrightarrow{β}$=λ6$\overrightarrow{β}$=64$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{64}\\{-64}\end{array}]$,
故答案為$[\begin{array}{l}{64}\\{-64}\end{array}]$.

點(diǎn)評 本題給出二階矩陣,求矩陣A的特征值和特征向量.著重考查了特征向量的定義、求法及其性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.

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