Question

在斜三棱柱中，平面平面ABC，，，.
（1）求證：；
（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、線線平行、二面角的余弦等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，利用面面垂直的性質(zhì)得BC⊥平面A₁ACC₁，則利用線面垂直的性質(zhì)得A₁A⊥BC，由A₁B⊥C₁C，利用平行線A₁A∥C₁C，則A₁A⊥A₁B，利用線面垂直的判定得A₁A⊥平面A₁BC，則利用線面垂直的性質(zhì)得A₁A⊥A₁C；第二問，建立空間直角坐標系，得到面上的點的坐標，計算出向量坐標，求出平面和平面的法向量，利用夾角公式計算出二面角的余弦值.
（1）因為平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，所以BC⊥平面A₁ACC₁，
所以A₁A⊥BC．
因為A₁B⊥C₁C，A₁A∥C₁C，所以A₁A⊥A₁B，
所以A₁A⊥平面A₁BC，所以A₁A⊥A₁C．      5分

（2）建立如圖所示的坐標系C-xyz．
設AC＝BC＝2，因為A₁A＝A₁C，
則A(2，0，0)，B(0，2，0)，A₁(1，0，1)，C(0，0，0)．
＝(0，2，0)，＝(1，0，1)，＝(－2，2，0)．
設n₁＝(a，b，c)為面BA₁C的一個法向量，則n₁·＝n₁·＝0，
則，取n₁＝(1，0，－1)．
同理，面A₁CB₁的一個法向量為n₂＝(1，1，－1)．   9分
所以cosán₁，n₂ñ＝＝，
故二面角B-A₁C-B₁的余弦值為．      12分