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已知數列為公差不為的等差數列，為前項和，和的等差中項為，且．令數列的前項和為．
（1）求及；
（2）是否存在正整數成等比數列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由．

（1），；（2）存在，.

解析試題分析：（1）由條件設公差為，從而得到，即得到.再代入中，通過裂項相消法即可得；（2）先假設存在，分別寫出表達式，再由等比中項的性質得到，再通過分析得，而，且都是正整數，則可得只能為2，代入得符合題意.所以存在可以使成等比數列.
試題解析：（Ⅰ）因為為等差數列，設公差為，則由題意得

整理得
所以     3分
由
所以     5分
（Ⅱ）假設存在
由（Ⅰ）知，，所以
若成等比，則有
   8分
   （1）
因為，所以，     10分
因為，當時，帶入（1）式，得；
綜上，當可以使成等比數列.     12分
考點：1.等差中項的性質；2.等比中項的性質；3.裂項相消法.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列中，.
（1）求證：是等比數列，并求的通項公式；
（2）數列滿足，數列的前n項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

數列的前項和為，若，點在直線上．
⑴求證：數列是等差數列；
⑵若數列滿足，求數列的前項和；
⑶設，求證：．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知公差不為零的等差數列的前項和，且成等比數列.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若數列滿足，求的前項和.

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設為數列的前項和，對任意的，都有（為正常數）.
（1）求證：數列是等比數列；
（2）數列滿足，，求數列的通項公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數列的前項和.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

三個不同的數成等差數列，其和為6，如果將此三個數重新排列，他們又可以成等比數列，求這個等差數列。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設數列滿足， 
(Ⅰ)求數列的通項公式；
(Ⅱ)令，求數列的前項和．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列中，，前和
（Ⅰ）求證：數列是等差數列； （Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）設數列的前項和為，是否存在實數，使得對一切正整數都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知首項為的等比數列的前n項和為, 且成等差數列.
(Ⅰ) 求數列的通項公式;
(Ⅱ) 證明.

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