Question

（2013•順義區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x3-ax（a＞0），g（x）=bx²+2b-1．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1-2b時(shí)，若函數(shù)f（x）+g（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=1-2b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）+g（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）求出f'（x），g'（x），由題意得f（1）=g（1），且f'（1）=g'（1），解該方程組即可；
（II）記h（x）=f（x）+g（x），當(dāng)a=1-2b時(shí)，h(x)=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a，利用導(dǎo)數(shù)可研究其單調(diào)性、極值情況，由函數(shù)在（-2，0）內(nèi)有兩零點(diǎn)可得端點(diǎn)處函數(shù)值及極值符號(hào)，由此得一不等式組，解出即可；
（III）當(dāng)a=1-2b=1時(shí)，h(x)=

1

3

x3-x-1．由（II）可知，函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，按照在區(qū)間[t，t+3]內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，一個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)極值點(diǎn)分類討論，結(jié)合圖象及函數(shù)的單調(diào)性即可求得其最大值；

解答：解：（I）f'（x）=x²-a，g'（x）=2bx．
因?yàn)榍�線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，
所以f（1）=g（1），且f'（1）=g'（1），即

1

3

-a=b+2b-1，且1-a=2b，
解得a=

1

3

，b=

1

3

．
（II）記h（x）=f（x）+g（x），
當(dāng)a=1-2b時(shí)，h(x)=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a，h'（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），
令h'（x）=0，得x₁=-1，x₂=a＞0．
當(dāng)x變化時(shí)，h'（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，a）	a	（a，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a），
故h（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，
從而函數(shù)h（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)

h(-2)＜0 h(-1)＞0 h(0)＜0

，解得0＜a＜

1

3

，
所以a的取值范圍是(0，

1

3

)．
（III）記h（x）=f（x）+g（x），當(dāng)a=1-2b=1時(shí)，h(x)=

1

3

x3-x-1．
由（II）可知，函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
①當(dāng)t+3＜-1時(shí)，即t＜-4時(shí)，h（x）在區(qū)間[t，t+3]上單調(diào)遞增，
所以h（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為h(t+3)=

1

3

(t+3)3-(t+3)-1=

1

3

t3+3t2+8t+5；
②當(dāng)t＜-1且-1≤t+3＜1，即-4≤t＜-2時(shí)，h（x）在區(qū)間[t，-1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-1，t+3]上單調(diào)遞減，
所以h（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為h(-1)=-

1

3

；
當(dāng)t＜-1且t+3≥1，即-2≤t＜-1時(shí)，t+3＜2且h（2）=h（-1）=-

1

3

，
所以h（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為h(-1)=-

1

3

；
③當(dāng)-1≤t＜1時(shí)，t+3≥2＞1，h（x）在區(qū)間[t，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，t+3]上單調(diào)遞增，
而最大值為h（t）與h（t+3）中的較大者．
由h（t+3）-h（t）=3（t+1）（t+2）知，當(dāng)-1≤t＜1時(shí)，h（t+3）≥h（t），
所以h（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為h(t+3)=

1

3

t3+3t2+8t+5；
④當(dāng)t≥1時(shí)，h（x）在區(qū)間[t，t+3]上單調(diào)遞增，
所以h（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為h(t+3)=

1

3

t3+3t2+8t+5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大．