Question

如圖，已知正三角形BCD外一點A滿足AB=AC=AD．E、F分別是AB、BC的中點，且EF⊥DE，則∠BAC=

 

．

Answer 1

考點：棱錐的結構特征

專題：解三角形,空間角

分析：根據(jù)題意，設AB=AC=AD=x，BC=CD=BD=a，DE=y，
利用余弦定理，在△BDE中，得出BD²=BE²+DE²-2BE•DEcos∠BED①，
在△ADE中，得出AD²=AE²+DE²-2AE•DEcos∠AED②，
由①、②，結合△DEF中，EF⊥DE，可以求出BC²=AB²+AC²，得出△BAC是等腰直角三角形，求出∠BAC的值．

解答： 解：如圖所示，
設AB=AC=AD=x，BC=CD=BD=a，DE=y，
則EF=

x

2

，DF=

3

2

a，
在△BDE中，由余弦定理得，
BD²=BE²+DE²-2BE•DEcos∠BED，
即a²=(

x

2

)2+y²-2•

x

2

•y•cos∠BED①，
在△ADE中，由余弦定理得，
AD²=AE²+DE²-2AE•DEcos∠AED，
即x²=(

x

2

)2+y²-2•

x

2

•y•cos（π-∠BED）②，
①+②得，a²+x²=

x2

2

+2y²，
∴y²=

a2

2

+

x2

4

；
在△DEF中，∵EF⊥DE，∴DF²=EF²+DE²，
即(

3

2

a)2=(

x

2

)2+y²=(

x

2

)2+

a2

2

+

x2

4

∴a²=2x²，
即BC²=AB²+AC²，
∴△BAC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°．
故答案為：90°．

點評：本題考查了余弦定理的應用問題，也考查了勾股定理的應用問題，考查了方程思想的應用問題，是中檔題目．