Question

已知定點(diǎn)和直線，過點(diǎn)且與直線相切的動圓圓心為點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線（，且）與拋物線，相交于、兩點(diǎn)，直線、分別交直線于點(diǎn)、試判斷以線段為直徑的圓是否恒過兩個定點(diǎn)？若是，求這兩個定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）存在，且兩個定點(diǎn)坐標(biāo)為和.

【解析】

試題分析：（1）解法1是根據(jù)題干條件確定曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)、以直線為準(zhǔn)線的拋物線，從而寫出拋物線的方程；解法2是利用直接法求動點(diǎn)的軌跡方程，即設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，將條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離相等列等式，化簡后即得到曲線的方程；（2）解法1是先設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立求出、的坐標(biāo)，并求出、的直線方程，與直線的方程聯(lián)立求出、的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出，然后求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，然后寫出以為直徑的圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行化簡，根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；解法2是設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，分別將直線的方程與拋物線和直線的方程求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后設(shè)直線的方程為，利用同樣的方法求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用點(diǎn)、都在直線上，結(jié)合兩點(diǎn)連線的斜率等于值以及點(diǎn)在直線得到、與之間的等量關(guān)系（韋達(dá)定理），然后設(shè)為以為直徑的圓上的一點(diǎn)，由得到以為直徑的圓的方程，然后圓的方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：（1）解法1：由題意，點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，

故點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線.

曲線的方程為；

解法2：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，得，即，

化簡得.曲線的方程為；

解法1：（2）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，依題意，，，

由消去得，解得.

，，

直線的斜率，故直線的方程為.

令，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.

.

，

設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則.

以線段為直徑的圓的方程為.

展開得.令，得，解得或.

以線段為直徑的圓恒過兩個定點(diǎn)、；

解法2：由（1）得拋物線的方程為.

設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由，消去，得，

即，解得或.

，.

點(diǎn)的坐標(biāo)為.

同理，設(shè)直線的方程為，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

點(diǎn)、在直線上，

.

.

又，得，

化簡得.

設(shè)點(diǎn)是以線段為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則，

得，

整理得，.

令，得，解得或.

以線段為直徑的圓恒過兩個定點(diǎn)、.

考點(diǎn)：1.拋物線的定義與方程；2.動點(diǎn)的軌跡方程；3.距離公式；4.直線與拋物線的位置關(guān)系；5.韋達(dá)定理