Question

設(shè)函數(shù)f(x)=sinx•cosx+

3

cos2x
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）已知f(α)=

1

3

+

3

2

，α∈(

π

12

，

π

3

)，求cos2α．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)f（α）=

1

3

+

3

2

，以及f（α）的解析式，求出sin（2α+

π

3

）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（2α+

π

3

）的值，所求式子中的角度變形后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

sin2x+

3

cos²x=

1

2

sin2x+

3

2

（1+cos2x）=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；
（2）∵sin（2α+

π

3

）+

3

2

=

1

3

+

3

2

，α∈（

π

12

，

π

3

），∴2α+

π

3

∈（

π

2

，π），
∴sin（2α+

π

3

）=

1

3

，cos（2α+

π

3

）=-

2 2

3

，
∴cos2α=cos[（2α+

π

3

）-

π

3

]=

1

2

×（-

2 2

3

）+

1

3

×

3

2

=

3 -2 2

6

．

點(diǎn)評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及三角函數(shù)的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．