已知函數(shù)f(x)=ax3+x2+bx(其中常數(shù)a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函數(shù),
(Ⅰ)求f(x)的表達式;
(Ⅱ)討論g(x)的單調性,并求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值。
解:(Ⅰ)由題意,得f′(x)=3ax2+2x+b,
因此g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b,
因為函數(shù)g(x)是奇函數(shù),所以g(-x)=-g(x),
即對任意實數(shù)x,有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b],
從而3a+1=0,b=0,
解得,b=0,
因此f(x)的解析表達式為。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
所以g′(x)=-x2+2,
令g′(x)=0,解得,
則當時,g′(x)<0,從而g(x)在區(qū)間上是減函數(shù);
時,g′(x)>0,從而g(x)在區(qū)間上是增函數(shù);
由前面討論知,g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值只能在x=1,,2時取得,
,
因此g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為,最小值為
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當f(x)為奇函數(shù)時,求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點;
(3)設q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數(shù)a的值;
(III)設g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調性的情況,并證明你的結論.

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