Question

4．求函數y=2-$\frac{4}{3}$sinx-cos²x的最大值和最小值．

Answer 1

分析 運用三角函數的基本關系和換元法，令t=sinx（-1≤t≤1），則y=t²-$\frac{4}{3}$t+1，運用二次函數的值域求法，即可得到最值．

解答 解：由同角的三角函數關系sin²x+cos²x=1，
y=2-$\frac{4}{3}$sinx-cos²x，
=2-$\frac{4}{3}$sinx-1+sin²x
=sin²x-$\frac{4}{3}$sinx+1，
令sinx=t，t∈[-1，1]，
y=t²-$\frac{4}{3}$t+1，t∈[-1，1]，
函數的對稱軸為t=$\frac{2}{3}$，
∴t在[-1，$\frac{2}{3}$]上單調遞減，在（$\frac{2}{3}$，1]上單調遞增，
∴當t=-1時，取最大值：y_max=$\frac{10}{3}$；
當x=$\frac{2}{3}$時，取最小值：y_min=$\frac{5}{9}$，
函數的最大值為$\frac{10}{3}$，最小值$\frac{5}{9}$．

點評 本題考查三角函數的最值及正弦函數的值域，同時考查換元法和二次函數的值域求法，屬于中檔題．