Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

2

，AB=1，E是DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥B₁D；
（2）求二面角E-AC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）法一：幾何法．要證明線線垂直可利用線線垂直的判定定理．
    法二：空間向量．建立空間直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)A，C，D，B₁然后求出

AC

 ，

DB1

利用向量

AC

•

DB1

=0?AC⊥B₁D．
（2）法一：幾何法．要求二面角的大小須先利用三垂線定理做出二面角的平面角然后在所做的三角形中求角的大小．
    法二：空間向量．建立空間直角坐標(biāo)系然后利用cosθ=

a • b

| a || b |

求出θ的大�。ㄆ渲�

a

，

b

分別為兩個(gè)平面的法向量而θ與二面角的平面角相等或互補(bǔ)）．

解答：（本小題滿分14分）
解法一：
（1）證明：連接BD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，∴B₁B⊥平面ABCD，
∴BD是B₁D在平面ABCD上的射影，…．（2分）
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，…．（4分）
根據(jù)三垂線定理∴AC⊥B₁D．…..（6分）
（2）解：設(shè)AC∩BD=F，連接EF．∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD，…（7分）
根據(jù)三垂線定理得 AC⊥FE，又AC⊥FB，∴∠EFB是二面角E-AC-B的平面角．…..（9分）
在Rt△EDF中，由DE=DF=

2

2

，得∠EFD=45°．…..（12分）
∴∠EFB=180°-45°=135°，…（13分）
即二面角E-AC-B的大小是135°．…..（14分）

解法二：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，∴DA、DC、DD₁兩兩互相垂直
如圖，以D為原點(diǎn)，直線DA，DC，DD₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．…．（1分）

D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)， C(0，1，0)，B1(1，1， 2 )

…..（3分）
（1）證明：
∵

AC

=(-1，1，0)，

DB1

=(1，1，

2

)…．（4分）
∴

AC

•

DB1

=0，∴AC⊥B₁D．…..（6分）

（2）解：
連接BD，設(shè)AC∩BD=F，連接EF．
∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD∴AC⊥FE，AC⊥FB…（8分）
∴∠EFB是二面角E-AC-B的平面角．…..（9分）
∵底面ABCD是正方形
∴F(

1

2

，

1

2

，0)，∴

FB

=(

1

2

，

1

2

，0)，

FE

=(-

1

2

，-

1

2

，

2

2

)，．…．（11分）
…..（13分）
∴cos＜

FB

，

FE

＞=

FB • FE

| FB || FE |

=-

2

2

…（13分）

∴二面角E-AC-B的大小是135°．…..（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線線垂直的證明和二面角的平面角以及求法．在解題過(guò)程中解法（1）采用了幾何法證明和求解而采用此法的關(guān)鍵是要對(duì)面面垂直的判定定理理解透徹和如何利用幾何法做出二面角的平面角的做法要熟悉（即過(guò)其中一個(gè)面內(nèi)的一點(diǎn)向另一個(gè)面作垂線（如本題中的ED）只要垂線找到了再利用三垂線定理即可作出二面角的平面角．而解法（2）則利用了向量的方法．向量法思路簡(jiǎn)單但計(jì)算較繁瑣：首先需建立空間直角坐標(biāo)系然后需求點(diǎn)的坐標(biāo)和所需向量然后代入公式求解比如本題中

AC

•

DB1

=0?AC⊥B₁D和cos＜

FB

，

FE

＞=

FB • FE

| FB || FE |

．