Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，若b²+c²=a²+bc，且2sin2

B

2

+2sin2

C

2

=1，則△ABC的形狀是（　　）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等邊三角形

D．鈍角三角形

Answer 1

分析：利用余弦定理表示出cosA，將第一個(gè)等式變形后代入求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)第二個(gè)等式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B與C的度數(shù)，即可做出判斷．

解答：解：∵b²+c²=a²+bc，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∵A為三角形的內(nèi)角，
∴A=60°，
∵2sin²

B

2

+2sin²

C

2

=1-cosB+1-cosC=1，
∴cosB+cosC=cosB+cos（120°-B）=cosB-

1

2

cosB+

3

2

sinB=

1

2

cosB+

3

2

sinB=cos（B-60°）=1，
∴B-60°=0，即B=60°，
∴A=B=C=60°，
則△ABC為等邊三角形．
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形的形狀判斷，涉及的知識(shí)有：余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．