【題目】如圖所示的五面體中,是正方形,是等腰梯形,且平面平面,為的中點(diǎn),,.
(1)求證:平面平面;
(2)為線段的中點(diǎn),在線段上,記,是線段上的動(dòng)點(diǎn). 當(dāng)為何值時(shí),三棱錐的體積為定值?證明此時(shí)二面角為定值,并求出其余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)時(shí),為定值;二面角為定值的證明詳見解析,余弦值為.
【解析】
(1)余弦定理求出邊OA即可利用勾股定理推出,利用面面垂直的性質(zhì)推出,則平面,由平面即可得證;(2)當(dāng)時(shí)易證平面,則到平面的距離固定即三棱錐的體積為定值,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面、平面的法向量、,代入即可求得二面角的余弦值.
(1)由,得,O為中點(diǎn)且,則,
故,
在中,,所以,則,
根據(jù)對(duì)稱性可知,從而,所以.
又平面平面,平面平面,平面,,
所以平面,所以.
,平面,平面,
所以平面,平面,所以平面平面.
(2)當(dāng)時(shí),是的中位線,.
平面,平面,所以平面,
所以到平面的距離固定,此時(shí),是定值.
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
.
,設(shè)平面的法向量為,則有
,令,得,所以.
由(1)可知,是平面的一個(gè)法向量.
所以,為定值.
根據(jù)圖形可知,二面角為鈍角,故其余弦值為.
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(1)求該圓錐的表面積和體積;
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【題目】已知函數(shù) .若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是
A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞)
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面為平行四邊形,,且,,是棱的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)在線段上(不含端點(diǎn))是否存在一點(diǎn),使得二面角的余弦值為?若存在,確定的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),在區(qū)間上的唯一零點(diǎn)為2,并且當(dāng)時(shí),,則使得成立的的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在三棱柱中,平面,,,分別是,,的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,.
(1)求證:平面;
(2)若平面平面,,,求點(diǎn)到平面的距離.
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