Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，點(diǎn)M在PB上，PB=4PM，PB與平面ABCD成30°的角．
（1）求證：CM∥平面PAD；
（2）點(diǎn)C到平面PAD的距離．

Answer 1

分析：（1）建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，求出∴

DP

、

DA

、

CM

  的坐標(biāo)，求出平面PAD的法向量

n

 的
坐標(biāo)，因?yàn)?

n

•

CM

=0，故 

n

⊥

CM

，又因?yàn)?CM不在平面PAD內(nèi)，可得CM∥平面PAD． 
 （2）由上面得

BE

⊥平面PAD，故

BE

 是平面PAD的法向量，可得平面PAD的單位法向量

n0

=

BE

| BE |

 的坐標(biāo)，
由點(diǎn)C到平面PAD的距離為 d=|

n0

•

CD

|求出點(diǎn)C到平面PAD的距離．

解答：解：以點(diǎn)C為空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
（1）證明：∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD成的角，∴∠PBC=30°．
∵PC=2，∴BC=2

3

，PB=4，∴D（0，1，0），B （2

3

，0，0），A（2

3

，4，0），P（0，0，2），
M（

3

2

，0

3

2

 ）．∴

DP

=（0，-1，2），

DA

=（2

3

，3，0），

CM

=（

3

2

，0，

3

2

  ）． 
設(shè)平面PAD的法向量為

n

=（x，y，1），由

n

•

DP

=0，且

n

•

DA

=0 可得 x=-

3

，y=2，
∴

n

=（-

3

，2，1）．  又因?yàn)?

n

•

CM

=（-

3

，2，1）•（

3

2

，0，

3

2

  ）=0，
∴

n

⊥

CM

，又因?yàn)?CM不在平面PAD內(nèi)，∴CM∥平面PAD．
取AP的中點(diǎn)E，則 E（

3

，2，1），

BE

=（-

3

，2，1）因?yàn)镻B=AB，∴

BE

⊥

AP

．
又因?yàn)?

BE

•

DA

=（-

3

，2，1）•（2

3

，3，0）=0，∴

BE

⊥

DA

，∴

BE

⊥平面PAD；
∴BE平面PAD，又因?yàn)?BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
（2）由上面得

BE

⊥平面PAD，∴

BE

 是平面PAD的法向量，
∴平面PAD的單位法向量為

n0

=

BE

| BE |

=

(-3 ，2，1)

2 2

，又因?yàn)?

CD

=（0，1，0），
∴點(diǎn)C到平面PAD的距離為 d=|

n0

•

CD

|=|

(-3 ，2，1)

2 2

•（0，1，0）|=

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查用向量證明線面平行和線面垂直，利用向量求點(diǎn)到平面的距離，準(zhǔn)確求出各個(gè)點(diǎn)，和有關(guān)向量的坐標(biāo)，
是階梯的關(guān)鍵和難點(diǎn)．