Question

已知函數(shù)f（x）=cos²（x）-2|cosx|．
（1）判斷該函數(shù)的奇偶性；
（2）求該函數(shù)的值域；
（3）該函數(shù)是否為周期函數(shù)？為什么？
（4）求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接由函數(shù)奇偶性的定義判斷；
（2）寫出分段函數(shù)，然后利用配方法求函數(shù)的值域；
（3）直接由f（x+π）=f（x）判斷函數(shù)為周期函數(shù)；
（4）利用復合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=cos²（x）-2|cosx|的定義域為R，
由f（-x）=cos²（-x）-2|cos（-x）|=cos²（x）-2|cosx|=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（2）f（x）=cos²（x）-2|cosx|=

cos2x-2cosx，cosx≥0 cos2x+2cosx，cosx＜0

，
當cosx≥0時，f（x）=（cosx-1）²-1，f（x）∈[-1，0]；
當cosx＜0時，f（x）=（cosx+1）²-1，f（x）∈[-1，0）．
∴函數(shù)f（x）的值域為[-1，0]；
（3）∵f（x+π）=cos²（x+π）-2|cos（x+π）|=cos²（x）-2|cosx|=f（x），
∴函數(shù)f（x）為以π為周期的周期函數(shù)；
（4）∵f（x）=

cos2x-2cosx，cosx≥0 cos2x+2cosx，cosx＜0

，
當cosx≥0時外函數(shù)二次函數(shù)為減函數(shù)，要求復合函數(shù)的增區(qū)間，需求內(nèi)函數(shù)余弦函數(shù)的減區(qū)間；
當cosx＜0時外函數(shù)二次函數(shù)為增函數(shù)，要求復合函數(shù)的增區(qū)間，需求內(nèi)函數(shù)余弦函數(shù)的增區(qū)間．
∴函數(shù)f（x）=cos²（x）-2|cosx|的增區(qū)間為[2kπ，2kπ+π]，k∈Z．

點評：本題考查了與余弦函數(shù)有關的復合函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)值域的求法，是中檔題．