Question

已知復(fù)數(shù)z₁=

3

+i，|z₂|=2，z₁×

z

2 2

是虛部為正數(shù)的純虛數(shù)．
（1）求z₁×

z

2 2

的模；
（2）求復(fù)數(shù)z₂．

Answer 1

分析：（1）由復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)，知|z1×z22|=|z₁|•|z₂|²，由此利用題設(shè)條件能夠求出z₁×

z

2 2

的模．
（2）由z₁×

z

2 2

是虛部為正數(shù)的純虛數(shù)，z₁×

z

2 2

的模是8，知z₁×

z

2 2

=8i，由此能求出復(fù)數(shù)z₂．

解答：解：（1）|z1×z22|=|z₁|•|z 22|=|z₁|•|z₂|²=8；
（2）∵z₁×

z

2 2

是虛部為正數(shù)的純虛數(shù)
∴z₁×

z

2 2

=8i，
z22=

8i

3 +i

=

8i( 3 -i)

4

=2+2

3

i，
設(shè)復(fù)數(shù)z₂=a+bi（a，b∈R）
a²-b²+2abi=2+2

3

i，
∴

a2-b2=2 2ab=2 3

，解之得

a= 3 b=1

，或

a=- 3 b=-1

，
∴z2=

3

+i，或z2=-

3

-i．

點評：本題考查復(fù)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，仔細解答．