Question

20．已知拋物線y²=16x的準線過雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一個焦點，且雙曲線的一條漸近線為$y=\sqrt{3}x$，則該雙曲線的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

Answer 1

分析 求出拋物線的準線方程，求出雙曲線的焦點坐標，利用雙曲線的漸近線方程，求出實半軸與虛半軸的長，得到雙曲線方程即可．

解答 解：拋物線y²=16x的準線x=-4過雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一個焦點（-4，0），
雙曲線的一條漸近線為$y=\sqrt{3}x$，可得b=$\sqrt{3}a$，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=4$，
解得a=2，b=2$\sqrt{3}$，
所求雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

點評 本題考查雙曲線方程的求法，拋物線的簡單性質以及雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力．