Question

（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，。以的中點為球心、為直徑的球面交于點。

（1）求證：平面⊥平面；

（2）求直線與平面所成的角；

（3）求點到平面的距離。

Answer 1

（1）證明見解析。

（2）

（3）

解析:

方法（一）：

（1）證明：依題設，Ｍ在以ＢＤ為直徑的球面上，則ＢＭ⊥ＰＤ.

因為ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，則ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，則ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ。

（２）設平面ＡＢＭ與ＰＣ交于點Ｎ，因為ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，則ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，

由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，則MN是PN在平面ABM上的射影，

所以  就是與平面所成的角，

且

所求角為

（3）因為O是BD的中點，則O點到平面ABM的距離等于D點到平面ABM距離的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，則|DM|就是D點到平面ABM距離。

因為在Rt△PAD中，，，所以為中點，，則O點到平面ABM的距離等于。

方法二：

（1）同方法一；

（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則，，， ，，，

設平面的一個法向量，由可得：，令，則，即.設所求角為，則，

所求角的大小為。

（3）設所求距離為，由，得：。