Question

有n粒球（n≥2，n∈N^*），任意將它們分成兩堆，求出兩堆球數(shù)的乘積，再將其中一堆任意分成兩堆，求出這兩堆球數(shù)的乘積，如此下去，每次任意將其中一堆分成兩堆，求出這兩堆球數(shù)的乘積，直到不能分為止，記所有乘積之和為S_n．例如，對(duì)于4粒球有如下兩種分解：（4）→（1，3）→（1，1，2）→（1，1，1，1），此時(shí)S₄=1×3+1×2+1×1=6；（4）→（2，2）→（1，1，2）→（1，1，1，1），此時(shí)S₄=2×2+1×1+1×1=6，于是發(fā)現(xiàn)S₄為定值6．請(qǐng)你計(jì)算S₅的值為

 

，猜想S_n=

 

（n≥2）．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專(zhuān)題：推理和證明

分析：從n=1開(kāi)始研究，到n=2，n=3，n=4，n=5，…找出S_n的共性，得到和的一般性規(guī)律，從而解決本題．

解答： 解：（2）→（1，1），此時(shí)S₂=1×1=1；
（3）→（1，2）→（1，1，1），此時(shí)S₃=1×2+1×1=2+1=3；
（4）→（1，3）→（1，1，2）→（1，1，1，1），此時(shí)S₄=1×3+1+2+1×1=3+2+1=6；
（5）→（1，4）→（1，1，3）→（1，1，1，2）→（1，1，1，1，1），此時(shí)S₅=1×4+1×3+1×2+1×1=4+3+2+1=10；
…
歸納猜想：Sn=（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+3+2+1=

n2-n

2

．
故答案為：10；

n2-n

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是歸納推理，要求學(xué)生理解本題的新定義的規(guī)律，從出發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到本題的解．另外，本題還可以嘗試從S₅=4+S₄的角度去尋找解題規(guī)律．