Question

12．如圖，PA為半徑為1的⊙O的切線，A為切點(diǎn)，圓心O在割線CD上，割線PD與⊙O相交于C，AB⊥CD于E，PA=$\sqrt{3}$．
（1）求證：AP•ED=PD•AE；
（2）若AP∥BD，求△ABD的面積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，先證明$\frac{AP}{PC}=\frac{AE}{CE}$，利用切割線定理得到$\frac{AP}{PC}$=$\frac{PD}{AP}$．Rt△ACD中，AB⊥CD，由射影定理得AE²=CE•ED，即可證明AP•ED=PD•AE；
（2）求出AB，證明△ABD是等邊三角形，即可求△ABD的面積．

解答 證明：（1）連接AC，
∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAC=∠ADC，
∵CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴∠BDC=∠ADC．
∵∠BDC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴$\frac{AP}{AE}$=$\frac{PC}{CE}$，
∴$\frac{AP}{PC}=\frac{AE}{CE}$，
∵PA為⊙O的切線，
∴AP²=PC•PD，
∴$\frac{AP}{PC}$=$\frac{PD}{AP}$．
Rt△ACD中，AB⊥CD，由射影定理得AE²=CE•ED，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{ED}{AE}$，
∴$\frac{ED}{AE}=\frac{PD}{AP}$，
∴AP•ED=PD•AE；
解：（2）∵AP∥BD，
∴∠P=∠BDC．
Rt△APE中，∠PAC=∠CAB=∠P=30°，
∴AP=$\sqrt{3}$PC．
∵AP²=PC•PD，
∴AP²=PC（PC+2），
∴PC=AC=1，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB=$\sqrt{3}$
∵∠ADB=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴S_△ABD=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查切割線定理的運(yùn)用，考查射影定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，知識(shí)綜合性強(qiáng)．