Question

12．設(shè)0＜a≤$\frac{5}{4}$，若滿(mǎn)足不等式|x-a|＜b的一切實(shí)數(shù)x，亦滿(mǎn)足不等式|x-a²|＜$\frac{1}{2}$，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得b＞0，求出這兩個(gè)不等式的解集，由題意可得 a²-$\frac{1}{2}$≤a-b，且 a+b≤a²+$\frac{1}{2}$，0＜a≤$\frac{5}{4}$．由此可得b小于或等于-a²+a+$\frac{1}{2}$的最小值，且b小于或等于 a²-a+$\frac{1}{2}$的最小值，由此求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：解：由題意可得b＞0是不用求的，否則|x-a|＜b都沒(méi)解了．
故有-b＜x-a＜b，即a-b＜x＜a+b．
由不等式|x-a²|＜$\frac{1}{2}$得，-$\frac{1}{2}$＜x-a²＜$\frac{1}{2}$，即 a²-$\frac{1}{2}$＜x＜a²+$\frac{1}{2}$．
第二個(gè)不等式的范圍要大于第一個(gè)不等式，這樣只要滿(mǎn)足了第一個(gè)不等式，
肯定滿(mǎn)足第二個(gè)不等式，命題成立．
故有 a²-$\frac{1}{2}$≤a-b，且 a+b≤a²+$\frac{1}{2}$，0＜a≤$\frac{5}{4}$．
化簡(jiǎn)可得 b≤-a²+a+$\frac{1}{2}$，且b≤a²-a+$\frac{1}{2}$．
由于-a²+a+$\frac{1}{2}$=-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$∈[$\frac{3}{16}$，$\frac{3}{4}$]，故 b≤$\frac{3}{16}$．
由于 a²-a+$\frac{1}{2}$=（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{16}$]．故 b≤$\frac{1}{4}$．
綜上可得 0＜b≤$\frac{3}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．