【題目】對于元集合，若元集合滿足，且．則稱是集合的一種“等和劃分”（與算是同一種劃分）．試確定集合共有多少種等和劃分?

【答案】29

【解析】

解法1：不妨設(shè)．由于當(dāng)集合確定后，集合便唯一確定，故只須考慮集合的個(gè)數(shù)．

設(shè)為最大數(shù)．由，知．于是，．故中有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)．

（1）若中有五個(gè)奇數(shù)，因中的六個(gè)奇數(shù)之和為36，而，所以，．此時(shí)，得到唯一的．

（2）若中有三個(gè)奇數(shù)、兩個(gè)偶數(shù)，用表示中這兩個(gè)偶數(shù)之和，表示中這三個(gè)奇數(shù)之和，則．于是，．共得的24種情形．

①當(dāng)時(shí)，，可搭配成的3種情形；

②當(dāng)時(shí)，，可搭配成的3種情形；

③當(dāng)時(shí)，，可搭配成的6種情形；

④當(dāng)時(shí)，，可搭配成的6種情形；

⑤當(dāng)時(shí)，，可搭配成的4種情形；

⑥當(dāng)時(shí)，，可搭配成的1種情形；

⑦當(dāng)時(shí)，，可搭配成的1種情形；

（3）若中有一個(gè)奇數(shù)、四個(gè)偶數(shù)，由于中除12外，其余的五個(gè)偶數(shù)和為，從中去掉一個(gè)偶數(shù)，補(bǔ)加一個(gè)奇數(shù)，使中五數(shù)之和為27，分別得到的4種情形．綜上，集合有種情形．即有29種等和劃分．

解法2：元素交換法．

顯然，，恒設(shè)．

（1）首先注意極端情況的一種分劃：

．

顯然，數(shù)組與中，若有一組數(shù)全在中，則另一組數(shù)必全在中．

以下考慮10、11兩個(gè)數(shù)至少一個(gè)不在中的情況．

為此，考慮中個(gè)數(shù)相同且和數(shù)相等的元素交換．

（2）；

；

；

．

共得到8種對換．

（3）；

；

；

；

．

共得到9種對換．

（4）；

；

；

；

．

共得到11種對換．

每種對換都得到一種新的劃分．因此，總共得種等和劃分．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，再向下平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像。

（1）當(dāng)時(shí)，若方程恰好有兩個(gè)不同的根，求的取值范圍及的值；

（2）令，若對任意都有恒成立，求的最大值

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【題目】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明： BC1//平面A1CD;

（Ⅱ）設(shè)AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱錐C一A1DE的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象上方，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E： (a>b>0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若對任意的，都有成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知邊長為4的正三角形ABC的邊AB、AC上分別有兩點(diǎn)D、E，DE//BC且DE=3，現(xiàn)將△ABC沿DE折成直二面角A﹣DE﹣B，在空間中取一點(diǎn)F使得ADBF為平行四邊形，連接AC、FC得六面體ABCEDF，G是BC邊上動(dòng)點(diǎn).

（1）若EG//平面ACF，求CG的長；

（2）若G為BC中點(diǎn)，求二面角G﹣AE﹣D的平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，則這時(shí)容器中水的深度為___________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將個(gè)數(shù)，，…，的連乘積記為，將個(gè)數(shù)，，…，的和記為．（）

（1）若數(shù)列滿足，，，設(shè)，，求；

（2）用表示不超過的最大整數(shù)，例如，，．若數(shù)列滿足，，，求的值；

（3）設(shè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)滿足：當(dāng)（）時(shí)，，問是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由（已知）．

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