Question

11．過點(diǎn)A和圓心O的直線交⊙O于B，C兩點(diǎn)（AB＜AC），AD與⊙O切于點(diǎn)D，DE⊥AC于E，AD=3$\sqrt{5}$，AB=3，則BE的長度為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 連接OD．AD與⊙O切于點(diǎn)D，可得AD²=AB•AC，解出AC．在Rt△ADO中，S_△ADO=$\frac{1}{2}AD•DO$=$\frac{1}{2}DE•AO$，解得DE．由DE⊥BC，可得BE•EC=DE²，即BE•（BC-BE）=DE²，解出BE即可得出．

解答 解：連接OD．
∵AD與⊙O切于點(diǎn)D，∴AD²=AB•AC，∴AC=$\frac{（3\sqrt{5}）^{2}}{3}$=15．
∴BC=15-3=12，∴⊙O的半徑r=6．
在Rt△ADO中，S_△ADO=$\frac{1}{2}AD•DO$=$\frac{1}{2}DE•AO$，解得DE=$\frac{3\sqrt{5}×6}{3+6}$=2$\sqrt{5}$．
∵DE⊥BC，
∴BE•EC=DE²，即BE•（BC-BE）=DE²，
∴BE²-BC•BE+DE²=0，
∴BE²-12BE+20=0，
解得BE=2或10（舍去）．
∴BE=2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、切割線定理、射影定理（相交弦定理）、直角三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．