【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示,并根據(jù)
(1)寫(xiě)出函數(shù)f(x)(x∈R)的增區(qū)間;
(2)寫(xiě)出函數(shù)f(x)(x∈R)的解析式;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣2ax+2(x∈[1,2]),求函數(shù)g(x)的最小值.
【答案】
(1)解:如圖,根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,可作出f(x)的圖象,,
則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣1,0),(1,+∞)
(2)解:令x>0,則﹣x<0,∴f(﹣x)=x2﹣2x
∵函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),
∴f(x)=f(﹣x)=x2﹣2x
∴解析式為f(x)=
(3)解:g(x)=x2﹣2x﹣2ax+2,對(duì)稱軸為x=a+1,
當(dāng)a+1≤1時(shí),g(1)=1﹣2a為最;
當(dāng)1<a+1≤2時(shí),g(a+1)=﹣a2﹣2a+1為最;
當(dāng)a+1>2時(shí),g(2)=2﹣4a為最。
∴g(x)=
【解析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,可作出f(x)的圖象,由圖象可得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)令x>0,則﹣x<0,根據(jù)條件可得f(﹣x)=x2﹣2x,利用函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),可得f(x)=f(﹣x)=x2﹣2x,從而可得函數(shù)f(x)的解析式;(3)先求出拋物線對(duì)稱軸x=a﹣1,然后分當(dāng)a﹣1≤1時(shí),當(dāng)1<a﹣1≤2時(shí),當(dāng)a﹣1>2時(shí)三種情況,根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大小;③作差比較或作商比較;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí)在上遞減,當(dāng)時(shí),即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)榧螦,函數(shù)g(x)=( )x(﹣1≤x≤0)的值域?yàn)榧螧.
(1)求A∩B;
(2)若集合C=[a,2a﹣1],且C∪B=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每生產(chǎn)這種產(chǎn)品x(百臺(tái)),其總成本為G(x)(萬(wàn)元),其中固定成本為42萬(wàn)元,且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為15萬(wàn)元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本).銷售收入R(x)(萬(wàn)元)滿足 假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉),根據(jù)上述規(guī)律,完成下列問(wèn)題:
(1)寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)y=f(x)的解析式(利潤(rùn)=銷售收入﹣總成本);
(2)要使工廠有盈利,求產(chǎn)量x的范圍;
(3)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí),可使盈利最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題“求方程5x+12x=13x的解”有如下的思路:方程5x+12x=13x可變?yōu)椋? )x+( )x=1,考察函數(shù)f(x)=( )x+( )x可知f(2)=1,且函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,所以原方程有唯一解x=2.仿照此解法可得到不等式:lgx﹣4>2lg2﹣x的解集為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐P﹣ABCD,底面ABCD是∠A=60°、邊長(zhǎng)為a的菱形,又PD⊥底ABCD,且PD=CD,點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn).
(1)證明:DN∥平面PMB;
(2)證明:平面PMB⊥平面PAD;
(3)求點(diǎn)A到平面PMB的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)椋?/span> )
A.[0,1)
B.[0,2)
C.(1,2)
D.[0,1)∪(1,2)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,離心率為,兩焦點(diǎn)分別為,過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn),且的周長(zhǎng)為8.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解答題
(1)若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓 左頂點(diǎn),求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若某雙曲線與橢圓 共焦點(diǎn),且以 為漸近線,求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線為,焦點(diǎn)為, 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求過(guò)點(diǎn),且與相切的圓的方程;
(2)過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn), 關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,求證:直線過(guò)定點(diǎn).
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