Question

進行直角坐標方程與極坐標方程的互化.

(1)y²=4x;(2)y²+x²-2x-1=0;(3)θ=;(4)ρcos²=1;(5)ρ²cos2θ=4;(6)ρ=.

Answer 1

解:(1)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y²=4x,得(ρsinθ)²=4ρcosθ,

化簡得ρsin²θ=4cosθ.

(2)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y²+x²-2x-1=0,得(ρsinθ)²+(ρcosθ)²-2ρcosθ-1=0,?

化簡得ρ²-2ρcosθ-1=0.?

(3)tanθ=,∴tan==,化簡得y=x(x≥0).

(4)∵ρcos² =1,?

∴ρ=1,即ρ+ρcosθ=2.?

∴+x=2,化簡得y²=-4(x-1).?

(5)∵ρ²cos2θ=4,∴ρ²cos²θ-ρ²sin²θ=4,即x²-y²=4.?

(6)∵ρ=,

∴2ρ-ρcosθ=1.

∴2,化簡得3x²+4y²-2x-1=0.

點評:在進行兩種坐標間的互化時,我們要注意:

(1)互化公式是有三個前提條件的,極點與直角坐標系的原點重合;極軸與直角坐標系的橫軸的正半軸重合;兩種坐標系的單位長度相同.?

(2)由直角坐標求極坐標時,理論上不是唯一的,但這里約定只在0≤θ＜2π范圍內求值.

(3)由直角坐標方程化為極坐標方程,最后要化簡.

(4)由極坐標方程化為直角坐標方程時要注意變形的等價性,通常總要用ρ去乘方程的兩端,應該檢查極點是否在曲線上,若在,是等價變形,否則,不是等價變形.