精英家教網(wǎng)已知點(diǎn)D(0,-2),過(guò)點(diǎn)D作拋線C1:x2=2py(p>0)的切線l,切點(diǎn)A在第一象限,如圖.
(1)求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo);
(2)若離心率為
3
2
的橢圓C:
y2
a 2
+
x2
b2
=1(a>b>0)恰好經(jīng)過(guò)切點(diǎn)A,設(shè)切線l交橢圓的另一點(diǎn)為B,記切線l,OA,OB的斜率分別為k,k2,k3,若2k1+k2=3k,求拋物線C1和橢圓C2的方程.
(3)設(shè)P、Q分別是(2)中的橢圓C2的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),M是橢圓C2在第一象限的任意一點(diǎn),求四邊形OPMQ面積的最大值以及此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).
分析:(1)設(shè)切點(diǎn)A的坐標(biāo),得切線的方程,根據(jù)點(diǎn)D(0,-2)在l上,從而可求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo);
(2)由e=
3
2
得a2=4b2,從而有橢圓方程為
y2
4b2
+
x2
b2
=1
,將直線與橢圓聯(lián)立
y=kx-2
y2+4x2=4b2
得(k2+4)x2-4kx+4-4b2=0,利用2k1+k2=3k可求拋物線C1和橢圓C2的方程.
(3)設(shè)M(m,n)(m,n>0),則4m2+n2=20,表示出四邊形OPMQ面積,利用基本不等式求最大值,從而求出M的坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)切點(diǎn)A(x1, y1),y1=
x
2
1
2p
,切線的方程為x1x=p(y1+y),又點(diǎn)D(0,-2)在l上,所以y1=2,即切點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2;
(2)由(1)得A(2
p
,2)
,切線斜率k=
2
p
①,設(shè)B(x2,y2),切線方程y=kx-2,由e=
3
2
得a2=4b2,∴橢圓方程為
y2
4b2
+
x2
b2
=1
且過(guò)點(diǎn)A(2
p
,2)

y=kx-2
y2+4x2=4b2
得(k2+4)x2-4kx+4-4b2=0,∴
x1+x2
4k
k2+4
x1x2=
4-4b
k2 +4
 

由2k1+k2=3k可得2x1+4x2=0,∴x1=2
p
,x2=-
p
代入②解得k=2,b2=5,∴a2=20,∴p=1
所以拋物線C1的方程為x2=2y,橢圓C2的方程
y2
20
+
x2
5
=1

(3)設(shè)M(m,n)(m,n>0),則4m2+n2=20,S=
1
2
(
20
m+
5
n)=
5
2
(2m+n)≤
5
2
×
10
=
5
2
2
,當(dāng)且僅當(dāng)2m=n,即m=
10
2
,n=
10
時(shí),取“=”,故四邊形OPMQ面積的最大值為
5
2
2
,M的坐標(biāo)為(
10
2
10
)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查拋物線的切線方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系及利用基本不等式求面積的最值.
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已知點(diǎn)D(0,-2),過(guò)點(diǎn)D作拋物線C1:x2=2py(p>0)的切線l,切點(diǎn)A在第二象限,如圖
(Ⅰ)求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo);
(Ⅱ)若離心率為
3
2
的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
恰好經(jīng)過(guò)切點(diǎn)A,設(shè)切線l交橢圓的另一點(diǎn)為B,記切線l,OA,OB的斜率分別為k,k1,k2,若k1+2k2=4k,求橢圓方程.

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(1)求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo);
(2)若離心率為
3
2
的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>c)恰好經(jīng)過(guò)A點(diǎn),設(shè)切線l交橢圓的另一點(diǎn)為B,若設(shè)切線l,直線OA,OB的斜率為k,k1,k2,①試用斜率k表示k1+k2②當(dāng)k1+k2取得最大值時(shí)求此時(shí)橢圓的方程.

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已知點(diǎn)D(0,-2),過(guò)點(diǎn)D作拋物線C1:x2=2py(p>0)的切線l,切點(diǎn)A在第二象限,如圖
(Ⅰ)求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo);
(Ⅱ)若離心率為的橢圓恰好經(jīng)過(guò)切點(diǎn)A,設(shè)切線l交橢圓的另一點(diǎn)為B,記切線l,OA,OB的斜率分別為k,k1,k2,若k1+2k2=4k,求橢圓方程.

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如圖,已知點(diǎn)D(0,-2),過(guò)點(diǎn)D作拋物線C1:x2=2py(p∈[1,4]的切線l,切點(diǎn)A在第二象限.
(1)求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo);
(2)若離心率為的橢圓+=1(a>b>c)恰好經(jīng)過(guò)A點(diǎn),設(shè)切線l交橢圓的另一點(diǎn)為B,若設(shè)切線l,直線OA,OB的斜率為k,k1,k2,①試用斜率k表示k1+k2②當(dāng)k1+k2取得最大值時(shí)求此時(shí)橢圓的方程.

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