Question

（2012•江蘇二模）平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），當(dāng)四邊形PABN的周長最小時，過三點A、P、N的圓的圓心坐標(biāo)是

(3，-

9

8

)

．

Answer 1

分析：根據(jù)兩點之間的距離公式，列出四邊形PABN的周長關(guān)于a的表達(dá)式，得到x軸上的點（a，0）與（1，3）和（3，1）距離之和最小時，四邊形PABN的周長也最小．利用對稱思想結(jié)合直線方程的求法，可得a值為

5

2

時，四邊形PABN的周長最�。畯亩�得到P、N的坐標(biāo)，再用直線方程的一般式，求出經(jīng)過三點A、P、N的圓方程，從而得到圓心的坐標(biāo)．

解答：解：四邊形PABN的周長為
C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=

(a-1)2+(1+2)2

+

(4-1)2+(0+2)2

+

(a-3)2+(1-0)2

+1
=

(a-1)2+(1+2)2

+

(a-3)2+(1-0)2

+

13

+1，
只需求出

(a-1)2+(1+2)2

+

(a-3)2+(1-0)2

的最小值時的a值．
由于

(a-1)2+(1+2)2

+

(a-3)2+(1-0)2

=

(a-1)2+(0-3)2

+

(a-3)2+(0-1)2

，
表示x軸上的點（a，0）與（1，3）和（3，1）距離之和，只需該距離之和最小即可．
利用對稱的思想，可得該距離之和的最小值為（1，-3）與（3，1）間的距離，
且取得最小的a值為E（1，-3）與F（3，1）確定的直線與x軸交點的橫坐標(biāo)，
∵直線EF的斜率k=

1+3

3-1

=2，∴直線EF方程為y+3=2（x-1），化簡得y=2x-5，
令y=0，得x=

5

2

，所以此時a值為

5

2

由以上的討論，得四邊形PABN的周長最小時，P（

5

2

，1），N（

7

2

，1）
設(shè)過三點A、P、N的圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
可得

12+(-2)2+D-2E+F=0 ( 5 2 )2+12+ 5 2 D+E+F=0 ( 7 2 )2+12+ 7 2 D+E+F=0

，解之得D=-6，E=

9

4

，F(xiàn)=

11

2

∴過三點A、P、N的圓方程為x²+y²-6x+

9

4

y+

11

2

=0，可得圓坐標(biāo)為（3，-

9

8

）
故答案為：（3，-

9

8

）

點評：本題以四邊形周長取最小值為載體，求經(jīng)過三點圓的圓心坐標(biāo)，著重考查了直線的方程、圓方程求法等知識，屬于中檔題．