Question

已知函數(shù)f（x）=x³-mx²-x+1，其中m為實(shí)數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對一切的實(shí)數(shù)x，有f′（x）≥|x|-成立，其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=3x²-2mx-1，
△=4m²+12＞0，
∴f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：，，x₁＜x₂．
當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，f′（x）＜0，即f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞x₂或x＜x₁時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）單調(diào)遞增．
綜上所述，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[，]；
單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，）、（，+∞）．
（2）∵對一切的實(shí)數(shù)x，有f′（x）≥|x|-成立，
∴3x²-2mx-1）≥|x|-，
①當(dāng)x＞0時(shí)，，
即3x+≥2m+1在x＞0時(shí)恒成立，
因?yàn)?x+≥2=3，
當(dāng)x=時(shí)，等號(hào)成立，
所以3≥2m+1，即m≤1．
②當(dāng)x＜0時(shí)，3|x|²+（2m-1）|x|+，
即3|x|+≥1-2m在x＜0時(shí)，恒成立，
∵3|x|+，
當(dāng)x=-時(shí)等號(hào)成立．
所以3≥1-2m，即m≥-1．…（11分）
③當(dāng)x=0時(shí)，m∈R．…（12分）
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1，1]．…（13分）
分析：（1）由f′（x）=3x²-2mx-1，△=4m²+12＞0，知f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：，，由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由對一切的實(shí)數(shù)x，有f′（x）≥|x|-成立，知3x²-2mx-1）≥|x|-，由此進(jìn)行分類討論，能夠求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．