Question

4．已知函數(shù)f（x）=cos$\frac{x}{4}$•cos（$\frac{π}{2}$-$\frac{x}{4}$）•cos（π-$\frac{x}{2}$），將函數(shù)f（x）在（0，+∞）的所有極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大排成一數(shù)列，記為{a_n}．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式及正弦的二倍角公式即可函數(shù)f（x）的解析式化簡(jiǎn)；f′（x）=-$\frac{1}{4}$cosx，由f′（x）=0可求得極值點(diǎn)從小到大依次為$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$，$\frac{5π}{2}$，…$\frac{（2n-1）π}{2}$，于是可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)裂項(xiàng)求和，從而可求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=-cos$\frac{x}{4}$•sin$\frac{x}{4}$•cos$\frac{x}{2}$=-$\frac{1}{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=-$\frac{1}{4}$sinx．
∴f′（x）=-$\frac{1}{4}$cosx，
令f′（x）=0得：cosx=0，
∴x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
又x＞0，
∴極值點(diǎn)從小到大排列依次為：$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$，$\frac{5π}{2}$，…$\frac{（2n-1）π}{2}$，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=$\frac{（2n-1）π}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=$\frac{1}{\frac{（2n-1）π}{2}•\frac{（2n+1）π}{2}}$=$\frac{4}{{π}^{2}}$•$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{2}{{π}^{2}}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）．
T_n=$\frac{2}{{π}^{2}}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]=$\frac{2}{{π}^{2}}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{4n}{{π}^{2}（2n+1）}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查函數(shù)極值點(diǎn)的應(yīng)用，突出考查數(shù)列的裂項(xiàng)法求和，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合應(yīng)用能力，屬于中檔題．