Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=

6

，M是棱CC₁的中點，
（1）求證：A₁B⊥AM；
（2）求直線AM與平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意利用幾何體的垂直關(guān)系建立直角坐標(biāo)系，求對應(yīng)向量的數(shù)量積為零，即得出垂直；
（2）在（1）的坐標(biāo)系中，求出面AA₁B₁B的法向量，再利用對應(yīng)向量的數(shù)量積求余弦值的絕對值，即為所求．

解答：解：（1）如圖，以B為原點，BA、BB₁所在直線為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，0，0），A₁（0，2，

6

），A（0，2，0），M(

3

2

，

1

2

，

6

2

)，
∴

A1B

=(0，-2，-

6

)，

AM

=(

3

2

，-

3

2

，

6

2

)，
∴

A1B

•

AM

=0+3-3=0，
即

A1B

⊥

AM

，∴

A1B

⊥

AM

；
（2）∵x軸⊥面AA₁B₁B，∴面AA₁B₁B的法向量取n=（1，0，0），
設(shè)直線AM與平面AA₁B₁B所成角為θ，
∴sinθ=|cos＜

AM

，n＞|=|

AM •n

| AM |•|n|

|=

6

6

，
∴直線AM與平面AA₁B₁B所成角的正弦值為

6

6

．

點評：本題考查了線線垂直和線面角，利用幾何體垂直關(guān)系建立坐標(biāo)系，再利用對應(yīng)向量的數(shù)量積證明線線垂直和求解線面角的正弦值，這是立體幾何中常用的一種方法．