Question

(理)如果有窮數列a₁,a₂,a₃,…,a_n(n為正整數)滿足條件a₁=a_n,a₂=a_n-1,…,a_n=a₁,即a_i=a_n-i+1(i=1,2,…,n),我們稱其為“對稱數列”.例如,由組合數組成的數列,,…,就是“對稱數列”.

(1)設{b_n}是項數為7的“對稱數列”,其中b₁,b₂,b₃,b₄是等差數列,且b₁=2,b₄=11.依次寫出{b_n}的每一項.

(2)設{c_n}是項數為2k-1(正整數k＞1)的“對稱數列”,其中c_k,c_k+1,…,c_2k-1是首項為50,公差為-4的等差數列.記{c_n}各項的和為S_2k-1,當k為何值時,S_2k-1取得最大值?并求出S_2k-1的最大值.

(3)對于確定的正整數m＞1,寫出所有項數不超過2m的“對稱數列”,使得1,2,2²,…,2^m-1依次是該數列中連續(xù)的項;當m＞1 500時,求其中一個“對稱數列”前2 008項的和S₂₀₀₈.

(文)如果有窮數列a₁,a₂,a₃,…,a_m(m為正整數)滿足條件a₁=a_m,a₂=a_m-1,…,a_m=a₁,即a_i=a_m-i+1(i=1,2,…,m),我們稱其為“對稱數列”.例如,數列1,2,5,2,1與數列8,4,2,2,4,8都是“對稱數列”.

(1)設{b_n}是7項的“對稱數列”,其中b₁,b₂,b₃,b₄是等差數列,且b₁=2,b₄=11.依次寫出{b_n}的每一項;

(2)設{c_n}是49項的“對稱數列”,其中c₂₅,c₂₆,…,c₄₉是首項為1,公比為2的等比數列,求{c_n}各項的和S;

(3)設{d_n}是100項的“對稱數列”,其中d₅₁,d₅₂,…,d₁₀₀是首項為2,公差為3的等差數列,求{d_n}前n項的和S_n(n=1,2,…,100).

Answer 1

答案：(理)解：(1)設{b_n}的公差為d,則b₄=b₁+3d=2+3d=11,解得d=3,

∴數列{b_n}為2,5,8,11,8,5,2.

(2)S_2k-1=c₁+c₂+…+c_k-1+c_k+c_k+1+…+c_2k-1=2(c_k+c_k+1+…+c_2k-1)-c_k,

S_2k-1=-4(k-13)²+4×13²-50,∴當k=13時,S_2k-1取得最大值,

S_2k-1的最大值為626.

(3)所有可能的“對稱數列”是:

①1,2,2²,…,2^m-2,2^m-1,2^m-2,…,2²,2,1;

②1,2,2²,…,2^m-2,2^m-1,2^m-1,2^m-2,…,2²,2,1;

③2^m-1,2^m-2,…,2²,2,1,2,2²,…,2^m-2,2^m-1;

④2^m-1,2^m-2,…,2²,2,1,1,2,2²,…,2^m-2,2^m-1.

對于①,當m≥2 008時,S₂₀₀₈=1+2+2²+…+2²⁰⁰⁷=2²⁰⁰⁸-1.

當1 500＜m≤2 007時,

S₂₀₀₈=1+2+…+2^m-2+2^m-1+2^m-2+…+2^2m-2009=2^m-1+2^m-1-2^2m-2009=2^m+2^m-1-2^2m-2009-1.

對于②,當m≥2 008時,S₂₀₀₈=2²⁰⁰⁸-1.當1 500＜m≤2 007時,S₂₀₀₈=2^m+1-2^2m-2008-1.

對于③,當m≥2 008時,S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008.當1 500＜m≤2 007時,S₂₀₀₈=2^m+2^2009-m-3.

對于④,當m≥2 008時,S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008.當1 500＜m≤2 007時,S₂₀₀₈=2^m+2^2008-m-2.

(文)解：(1)設數列{b_n}的公差為d,則b₄=b₁+3d=2+3d=11,解得d=3,∴數列{b_n}為2,5,8,11,8,5,2.

(2)S=c₁+c₂+…+c₄₉=2(c₂₅+c₂₆+…+c₄₉)-c₂₅=2(1+2+2²+…+2²⁴)-1=2(2²⁵-1)-1=2²⁶-3=67 108 861.

(3)d₅₁=2,d₁₀₀=2+3×(50-1)=149.由題意得d₁,d₂,…,d₅₀是首項為149,公差為-3的等差數列.

當n≤50時,S_n=d₁+d₂+…+d_n=149n+(-3)=n²+n.

當51≤n≤100時,S_n=d₁+d₂+…+d_n=S₅₀+(d₅₁+d₅₂+…+d_n)

=3 775+2(n-50)+×3=n²n+7 500.

綜上所述,S_n=