Question

對(duì)于正整數(shù)k，g（k）表示k的最大奇因數(shù)，如g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，g（4）=1，…，記f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ），其中n為正整數(shù)．
（1）分別計(jì)算g（1）+g（3）+g（5）+g（7）；g（1）+g（2）+g（3）+g（4）；g（2）+g（4）+g（6）+g（8）；
（2）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）=4^n-1+f（n-1）；
（3）記a_n=f（n+1）+k（-1）ⁿf（n），當(dāng){a_n}為遞增數(shù)列時(shí)，求實(shí)數(shù)k的范圍．

Answer 1

分析：（1）k的最大奇因數(shù)是指k的約數(shù)當(dāng)中的最大的奇數(shù)，由此定義可得g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，g（4）=1，g（5）=5，g（6）=3，g（7）=7，g（8）=1，代入要求了代數(shù)式，即可以得出它們的值；
（2）正整數(shù)分為正奇數(shù)和正偶數(shù)，由此將從1、2、…，到2ⁿ的數(shù)進(jìn)行分類，可得當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）=g（1）+g（2）+
g（3）+…+g（2ⁿ）=g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）=（2^n-1）²+g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1））=4^n-1+f（n-1），等式成立；
（3）在（2）的結(jié)論的基礎(chǔ)上，可得f（n）-f（n-1）=4^n-1，然后分別將n=1、n=2、n=3，…，代入用累加的方法可以求得
f（n）=4²+4³+…+4^n-1+f（2）=

42(1-4n-2)

1-4

+6=

4n+2

3

成立，由此代入a_n=f（n+1）+k（-1）ⁿf（n），得出a_n的表達(dá)式．最后討論{a_n}為遞增數(shù)列，說(shuō)明a_n+1-a_n＞0在正整數(shù)范圍內(nèi)恒成立，可以得出-2＜k＜

16

7

．

解答：解：（1）g（1）+g（3）+g（5）+g（7）=1+3+5+7=16；
g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6；
g（2）+g（4）+g（6）+g（8）=1+1+3+1=6
（2）證明：∵g（2）+g（4）+g（6）+…+g（2k）
=g（2•1）+g（2•2）+g（2•3）+…+g（2•k）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（k）
∴當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）
=g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）
=1+3+5+…+（2ⁿ-1）+g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1）
=

1+2n-1

2

(2n-1)+f(n-1)=4^n-1+f（n-1）
（3）由（2）得，當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）=4^n-1+f（n-1），即f（n）-f（n-1）=4^n-1
∴f（3）-f（2）=4²，f（4）-f（3）=4³，f（n）-f（n-1）=4^n-1
可得f（n）=4²+4³+…+4^n-1+f（2）=

42(1-4n-2)

1-4

+6=

4n+2

3

當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=g（1）+g（2）=1+1=2也成立，
∴f(n)=

4n+2

3

n∈N^*
an=f(n+1)+k(-1)nf(n)=

4n+1+2

3

+k(-1)n

4n+2

3

∵{a_n}為遞增數(shù)列
∴當(dāng)n∈N^*時(shí)，a_n+1-a_n=

4n+2+2

3

+k(-1)n+1

4n+1+2

3

-

4n+1+2

3

-k(-1)n

4n+2

3

=4n+1+

1

3

k(-1)n+1(5•4n+4)＞0恒成立
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，k＞-

12•4n

5•4n+4

=-

12

5

+

48

25•4n+20

∵當(dāng)n=1時(shí)，-

12

5

+

48

25•4n+20

取到最大值-2
∴k＞-2；
當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，k＜

12•4n

5•4n+4

=

12

5

-

48

25•4n+20

∵當(dāng)n=2時(shí)，

12

5

-

48

25•4n+20

取到最小值

16

7

∴k＜

16

7

∴-2＜k＜

16

7

點(diǎn)評(píng)：本題綜合了數(shù)列的通項(xiàng)與求和的方法、函數(shù)的單調(diào)性和不等式恒成立等復(fù)雜知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．解題時(shí)要注意數(shù)列當(dāng)中的歸納方法與證明不等式恒成立時(shí)的放縮的技巧，本題綜合性較強(qiáng)，適合基礎(chǔ)較好的同學(xué)．