Question

16．若“?x∈（0，+∞），x+$\frac{4}{x}$≥a”與“?x∈R，x²+2x+a=0”都是真命題，則a的取值范圍是（　�。�

• A． a≤4
• B． a≤1
• C． 1≤a≤4
• D． ∅

Answer 1

分析 分別求得“?x∈（0，+∞），x+$\frac{4}{x}$≥a”與“?x∈R，x²+2x+a=0”都是真命題時a的取值范圍，再取交集即可．

解答 解：“?x∈（0，+∞），x+$\frac{4}{x}$≥a”?“?x∈（0，+∞），a≤（x+$\frac{4}{x}$）_min，
∵當(dāng)x＞0時，x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取“=”），即（x+$\frac{4}{x}$）_min=4，
∴a≤4；
又“?x∈R，x²+2x+a=0”是真命題，
∴方程x²+2x+a=0有實數(shù)根，
∴△=4-4a≥0，解得：a≤1；
∵“?x∈（0，+∞），x+$\frac{4}{x}$≥a”與“?x∈R，x²+2x+a=0”都是真命題，
∴a≤1，
故選：B．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查全稱命題與特稱命題之間的關(guān)系，考查基本不等式與判別式法，考查等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)方程思想的應(yīng)用，屬于中檔題．